Aplikasi mantik dalam matematik

Aplikasi mantik dalam matematik

Definisi Mantik

Menurut al-Farabi, mantiq adalah terbitan daripada perkataan nutq. Mantik merujuk kepada tiga perkara iaitu: fakulti yang dengannya manusia mengetahui dan mengenali alam ma’qulat, percakapan dalaman dan percakapan luaran.

Manakala dalam bahasa arab, mantiq adalah percakapan, pertuturan dan fikiran yang benar. Mantik juga dikenali sebagai ilmu kaedah berfikir secara bersistem yang bertujuan untuk mengelakkan daripada melakukan kesalahan yang bersabit dengan fikiran, ilmu ke jalan yang lurus, ilmu mencari dalil dan ilmu undang-undang berfikir.mantik menjaga akal daripada tergelincir kepada kesalahan. (Ismail 1997)

Definisi matematik

Menurut Mook Soon Sang dalamPengajian Matematik untuk Diploma Perguruan, (Sang 1996), matematik merupakan satu cabang ilmu pengetahuan yang timbul daripada proses penaakulan terhadap kejadian-kejadian alam sekeliling dan cakerawala. Nor Atirah Raping pula mendefinisikan dalam modul MTE3102 Kurikulum Pendidikan Matematik, matematik adalah suatu cara berfikir, kajian tentang pola, kajian perhubungan, suatu seni, suatu bahasa dan sebagai alat dalam kehidupan seharian. Menurut Mat Rofa (Ismail 1997), matematik ditakrifkan juga sebagai ilmu bersistem dengan tersusun daripada pendalilanpembuktian proposisi mantik dengan menggunakan simbol-simbol khusus.

Sebagai kesimpulan, matematik merupakan suatu cabang ilmu yang mengajar manusia berfikir secara logik, mengutarakan fikiran, hujah, alasan dan prinsip dengan menggunakan pembuktian yang mempunyai kesahan sama ada melalui inferens atau pun secara pengujian dan kajian. Matematik juga istimewa kerana mempunyai bahasa yang tersendiri yang mampu mengungkapkan pelbagai konsep yang terkandung di dalam ilmu matematik itu sendiri. Matematik juga merupakan suatu alat yang berguna dalam kehidupan seharian kerana keperluannya dalam pelbagai urusan seharian seperti urus niaga, perjalanan, perancangan, pemakanan, pembelajaran, permainan dan pelbagai lagi aktiviti sosial manusia. Selain itu, matematik mempunyai nilai estetika yang unik dengan pelbagai keindahan dapat diterokai melalui pengkajian pola, seni bina, ukiran dan alat rekreasi.

Peranan matematik

Menurut Mook Soon Sang, (Sang 1996), matematik ialah suatu cara yang membolehkan manusia mendapat kuantiti atau nilai seperti banyak, panjang, pendek, jarak, luas, laju dan sebagainya. Matematik juga suatu ilmu yang berguna kepada saintis fizik dan sosial, ahli falsafah, ahli logik dan artis. Selain sebagai penyelesai masalah seharian, matematik membolehkan manusia mengkaji tentang pola, perhubungan, masalah sosial, mereka bentuk sesuatu yang menarik, seimbang dan menakjubkan. Matematik membantu para sainstis mencari kebenaran berkaitan fenomena fizikal alam sekeliling.

Selain itu, matematik adalah suatu cara berfikir yang sistematik dan pembelajarannya akan melatih manusia bertaakul secara logik dan rasional. Oleh itu, matematik adalah alat yang paling penting untuk mendorong perkembangan tamadun dalam bidang sains dan teknologi, sosial dan ekonomi serta meningkatkan tahap kecerdikan manusia.

Menurut Mat Rofa, mantik ialah unsur matematik yang penting. Tabii mantik ialah penghujahan menggunakan akal anugerah Illahi. Ilmu ini digunakan oleh manusia silam untuk tujuan berfikir secara bersistem dan mengelak daripada membuat kesilapan natijah. Mantik digunakan dalam penghujahan alam tinggi (metafizik) berdasarkan kewujudan alam rendah (alam pencerapan pancaindera). (Ismail 2004).

Matematik tabii

Dari segi istilah, Abdul latif Samian, (Latif 1997) menakrifkan matematik sebagai satu bidang ilmu yang bersifat kejituan yang pasti yang diperolehi melalui kaedah deduksi. Oleh itu, kita dapat simpulkan bahawa matematik ini adalah ilmu yang pasti kerana perbahasaan mengenainya juga bersifat pasti. Seperti contoh, kita telah maklum bahawa satu tambah satu adalah dua (1 + 1 = 2). Semua orang menerima penyataan ini tanpa bangkangan.

Abdul Latif Samian (Latif 1997) juga mendefinisikan matematik sebagai ilmu yang berteraskan mantik (logik), kajian ke atas nombor, saiz dan rupa bentuk dan hubungan antaranya. Beliau juga menyatakan perihal bukti, perihal ciri-ciri yang am dan abstrak tentang struktur alam dan fenomena dan ilmu yang boleh dibina melalui teori set. Oleh itu kita dapat simpulkan bahawa logik merupakan asas dalam mencari kepastian dan kejituan.

Sifat Penaakulan logik

Logik tabii ialah satu pengajian tentang prinsip-prinsip kesahihan tentang sesuatu sama ada secara inferens atau demonstrasi (pengujian). Logik tabii ini terbahagi kepada dua, iaitu:

1.      Induktif matematik

-          Induktif ialah proses penyelesaian dari hal-hal yang khusus kepada umum

-          Induktif matematik juga disebut induksi lengkap, sering digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan berkenaan nombor

-          Pembuktian cara induktif matematik ialah untuk membuktikan teori atau sifat itu benar

-          Contoh : 3 + 5 = 8 dan 9 + 3 = 12

-          Kesimpulannya, angka ganjil ditambah dengan angka ganjil memperoleh angka genap.    

2.      Deduktif matematik

-          Deduktif merupakan suatu proses penyelesaian dari hal umum kepada khusus

-          Deduktif matematik akan membuktikan sesuatu kebenaran baru yang berasal dari kebenaran yang sudah ada dan diketahui sebelumnya.

-          Ia merupakan cara mengajar yang bermula dari rumus, prinsip, hukum, teoram atau peraturan yang diikuti dengan aplikasinya ke atas contoh-contoh khusus.

-          Contohnya: semua segi tiga mempunyai 3 sisi

                       Farhana adalah seorang perempuan.

Unsur-unsur deduksi dan induksi digunakan secara meluas dalam penghujahan. Penghujahan kedua-dua unsur ini bukan sahaja digunakan dalam aspek kuantitatif tetapi digunakan juga secara umum dalam semua jenis penghujahan.

Kegunaan mantik dalam matematik

Mantik Ibnu al-Rusyd telah membentuk aliran tersendiri dalam metafizik dan mantik Ibnu al-Haitham telah mempengaruhi perkaedahan penyelidikan ilmiah Barat dalam sains tabii menerusi konsep al-istiqra wa al-tajribah di barat. Mantik yang digunakan oleh ahli matematik Islam bebas daripada pentafsiran akidah dan alam. Ahli matematik Islam menggunakan mantik dalam pentakrifan, aksiom,teoram, pembuktian,korolari atau analisis sesuatu konsep. Ada dua kaedah mantik utama yang digunakan untuk pembuktian terus iaitu: kaedah al-istintija dan al-istiqra’i. Kaedah istiqra’(aruhan) adalah induksi matematik atau pembuktian terus atau percanggahan yang merumuskan kaedah umum daripada kes khusus dan khas yang berlaku secara berulang-ulang. Manakala, kaedah istintaji adalah deduksi yang merumuskan kes khusus daripada kes am. Aruhan merupakan proses menaik tetapi induksi merupakan proses menurun. Contoh proses deduksi: semua makhluk akan fana, Socrates makhluk; maka Socrates akan fana.penghujahan ini juga dikenali sebagai silogisme.

Proses deduksi (al-istinbat) lebih melibatkan teori daripada amali, lebih-lebih lagi dalam pembuktian teoram matematik (al-murbarhanāt). Dalam proses ini, terdapat unsur asas yang terlibat dalam langkah pengisbatan seperti aksiom (badihat), postulat (musadarat), takrif, lema, teoram, korolari dan seumpamanya. Untuk pembuktian sesuatu teoram, rangkaian aksiom, lema dan resam digunakan yang sebahagiannya merupakan proses deduktif.

Proses induksi pula umumnya lebih melibatkan uji kaji dan cerapan yang berterusan serta pengumpulan data yang banyak melalui kes khas untuk disimpulkan kes amnya berdasarkan keharmonian hukum alam dan prinsip sebab-musabab. Pembuktian secara induksi dalam matematik mempunyai tatacara yang hampir sama, tetapi uji kajinya digantikan dengan data yang banyak serta pemerhatian tentang sifat khusus sesuatu konjektur berkenaan.

Kesimpulannya, gabungan antara proses deduktif dengan induksi yang berasaskan uji kaji dalam mengkaji sesuatu hukum akan membentuk al-manhaj al-‘ilmi atau perkaedahan ilmiah atau dirujuk sebagai perkaedahan deduksi-hipotesis. Sebagai contoh, Ibnu al-Haitham telah menggunakan proses induksi dan deduksi cerapan serta rumusan matematik dan perbandingan mendasari perkaedahan uji kaji optik.

Menurut Mat Rofa (Ismail, Mantik dalam babak Pemikiran Ilmiah Tamadun Manusia 1997) Kaedah-kaedah mantik digunakan sebagai hujah akal dalam kehidupan harian, dalam perbincangan kalam, pembuktian teoram matematik, peraturcaraan komputer dan sebagainya. Prinsip mantik yang digunakan adalah sama, sepunya dan sejagat.

Ilmu mantik digunakan dalam matematik dan kejuruteraan. Sebagai contoh, konsep Teoram Pythagoras telah digunakan untuk mencari keputusan dan jumlah keluasan segi tiga bersudut tepat adalah sama dengan menggunakan konsep  al-Qiyas. Konsep al-Qiyas mempunyai tiga rangkaian iaitu: mukadimmah sughra, mukadimah kubra dan natijah. Manakala, teoram Pythogores juga menggunakan tiga rangkaian iaitu setentang, bersebelahan dan sendeng yang mana kedua-dua konsep digunakan untuk mencari keputusan. (Rosmawati 1997).

Silogisme

Silogisme adalah penghujahan mudah dalam mantik menggunakan kaedah deduksi kiasan. Penghujahan mantik ini memerlukan beberapa premis dan diakhiri dengan kesimpulan yang diterbitkan daripada premis pertama secara deduksi. Premis pertama sering dirujuk sebagai al-muqadimmah al-kubra (premis utama). Premis ini merupakan satu pengetahuan berbentuk priori yang mantap dan diterima umum secara ijmak dan diikuti oleh premis yang lebih khusus bentuknya sebagai al-muqaddimah al-sughra (kes cabang). Kesimpulan hujah boleh dideduksikan daripada premis pertama. Kesimpulan daripada penghujahan ini bersifat yakin dan pasti, berbeza dengan penghujahan induksi yang bersifat konjektur dan kurang pasti. (Rofa 1994)Sebagai contoh:

 Premis 1: hasil tambah semua nombor ganjil berturutan bermula daripada 1 merupakan nombor kuasa dua sempurna.

Premis 2: 1+3+5+7 ialah hasil tambah empat nombor ganjil berturutan yang bermula daripada 1.

Natijah : hasil tambah 1+3+5+7  merupakan nombor kuasa dua sempurna iaitu, 16 = .

Menurut Mat Rofa, dalam matematik terdapat premis asas yang dipanggil aksiom dibina sebagai tapak bertolak. Aksiom merupakan anggapan asas yang boleh diterima secara rasional oleh akal manusia. Bertolak daripada premis ini , analisis matematik dibina menggunakan kaedah tertentu mantik khususnya dalam pembuktian sesuatu teoram atau qadiyyah. Oleh itu, matematik merupakan hujah mantik yang jelas dan sentiasa tepat relatif terhadap premis pembinaan aksiom.

Transitif

Transitif merujuk kepada hubungan kongruenan satu hala antara proposisi-proposisi yang terlibat. Setiap proposisi dikaitkan dengan proposisi berikutnya secara rapi, lalu proposisi pertama mempunyai hubungan transitif dengan proposisi terakhir. Kaedah ini mudah difahami menerusi contoh matematik : jika a > b; b>c; c>d dan a>d. (Rofa 1994)

Al-Istiqra atau aruhan

Al-Istiqra bermaksud sebagai kaedah yang digunakan untuk menyimpulkan keputusan umum melalui pencerapan dan pemerhatian kes-kes cabangnya (al-juz’iyyat). Dalam pembuktian matematik, kaedah ini sangat popular digunakan dan kini kaedah ini lebih dikenali sebagai kaedah aruhan matematik, terutamanya untuk tahkik sesuatu rumus yang diberikan dengan integer sebagai pemboleh ubahnya.

1.      Kaedah aruhan Abu Kamil

Abu Kamil menggunakan proses aruhan untuk menunjukkan rumus:

Contoh: n= 1,2,3 dan 4

                      n=1

                n=2

           n=3

        n=4

Maksud rumus boleh disemak kebenarannya untuk sebarang nombor yang terhingga dan rumusan ini dari segi ilmu mantik boleh diterima untuk pendalilan istiqra’iyyah secara aruhan.

2.      Kaedah al-Istiqra al-Karaji

Al-Karaji telah menggunakan pemerhatian yang berulang-ulang bagi kes khas untuk merumus kes umum untuk pembuktian beberapa siri bernombor.

Contoh: siri nombor bulat : 1+2+3+4+5+6

Hasil tambah kedua-dua nombor sisi yang sepadan adalah sama, iaitu: 6+1=5+2=3+4=7.

Demikian juga untuk, 1+2+3+4+5+6+7; 1+7=2+6=3+5=4+4=8.

Al-Karaji membuat kesimpulan bahawa untuk siri adalah 1+2+3+.....+n;

Hasil tambah kedua-dua nombor sisi yang sepadan ialah (n+1). Dengan itu, hasil tambah siri ialah n/2 didarabkan dengan hasil tersebut.

3.      Kaedah aruhan matematik Sama’wal al- maghribi

Contoh:

(ab)(cd)= (ac)(bd)

Contoh mengaplikasi mantik dalam matematik

1.      Abu Kamil telah memperkenalkan konsep nombor negatif, iaitu:

(+)(+) = (-)(-) = +; (+)(-) = (-)(+) = -,

2.      Penyataan-penyataan atau statements boleh dioperasikan dengan operasi “dan” atau “atau”. Misalkan a dan b adalah dua pernyataan:

Pernyataan a	Pernyataan b	a dan b	a atau b
Benar	Benar	benar	benar
Benar	Palsu	palsu	benar
Palsu	Benar	palsu	benar
Palsu	Palsu	palsu	palsu

Dua pernyataan boleh digabungkan dengan menggunakan perkataan ‘dan’ dan ‘atau’ untuk membentuk suatu  pernyataan baru.
     a)    Perkataan ‘dan’
             i)   Pernyataan baru adalah benar apabila kedua-dua pernyataan yang digabungkan  adalah benar.
             ii)   Pernyataan baru adalah palsu apabila salah satu atau kedua-dua pernyataan yang digabungkan adalah palsu.

     b)    Perkataan ‘atau’
             i)    Pernyataan baru adalah benar apabila salah satu atau kedua-dua pernyataan yang digabungkan adalah benar.
             ii)    Pernyataan baru adalah palsu apabila kedua-dua pernyataan yang digabungkan adalah palsu.

3.      Ayat bersyarat:

“jika x,y dan z sudut-sudut dalam sebuah segi tiga, maka x + y + z = 180⁰“

4.      Penaakulan deduksi:

Premis 1: hasil tambah semua nombor ganjil berturutan bermula daripada 1 merupakan nombor kuasa dua sempurna.

Premis 2: 1+3+5+7 ialah hasil tambah empat nombor ganjil berturutan yang bermula daripada 1.

Natijah : hasil tambah 1+3+5+7  merupakan nombor kuasa dua sempurna iaitu, 16 = .

5.      Ilmu persamaan atau Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah yang ditulis oleh Al-Khawarizmi. Al –Jabr adalah menukar tempat kuantiti suatu persamaan dari kiri ke kanan dan sebaliknya. Manakala, Muqabalah bermaksud meringkaskan lagi hasil-hasil yang didapati.

Jika diberikan :   

Al-Jabr menghasilkan:

Al-Muqabalah menghasilkan:

6.      (x-1)(x-2) = 0 jika dan hanya jika x=1 atau x=2. Maka pembuktian yang perlu dipertimbangkan dalam dua kes iaitu:

1.      Jika (x-1)(x-2) = 0, maka x=1 atau x=2

2.      Jika x=1 atau x=2 maka (x-1)(x-2)=0

7.      Contoh penghujahan transitif:

Jika a,b dan c ialah nombor-nombor, a lebih besar daripada b dan b lebih besar daripada c maka a lebih besar daripada c. Ini merupakan hasil penghujahan transitif mantik yang hingga kini belum ada manusia yang menolak hujah tersebut.